Gönderen Konu: İlköğretim 2010 2. Aşama {çözüldü}  (Okunma sayısı 7817 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
İlköğretim 2010 2. Aşama {çözüldü}
« : Ocak 15, 2011, 10:26:16 ös »
27 Kasım 2010 tarihinde yapılan Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Sınavı'nın soruları. Daha önceki ilköğretim klasik problemleriyle kıyaslarsak zor olduğunu söyleyebiliriz. elimizden geldiğince beraberce cevap arayalım. Hepimize kolay gelsin  :) ...
« Son Düzenleme: Ocak 30, 2011, 05:09:29 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: İlköğretim 2010 2. Aşama
« Yanıtla #1 : Ocak 15, 2011, 10:46:08 ös »
geometri sorusuna özel bir hal için çözüm yapmıştım. Bu şekliyle bile pek basit bir problem değil aslında. genel biçimde çözüm bulabilen üyelerimiz buraya ekleyebilir.

Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: İlköğretim 2010 2. Aşama
« Yanıtla #2 : Ocak 16, 2011, 01:36:08 ös »
çözümde alt durumların analizi aşaması oldukça zaman alıyor. toplamda 4,5 sınav süresi var ama bu süre bile öğrencilere az gelmiş olabilir. (belki de daha pratik çözümler vardır)

2. sorunun çözümü:
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: İlköğretim 2010 2. Aşama
« Yanıtla #3 : Ocak 16, 2011, 04:21:35 ös »
4. problem için şöyle bir yol izleyebiliriz:

öncelikle eşitlik halinin sağlanması için gerek ve yeter koşulun a = b = 1 olması gerektiğini söyleyelim. Eğer a2b2(a2 + b2 - 2) ≥ (a + b)(ab - 1) eşitsizliğinde b = 1 yazarsak a2(a2 - 1) ≥ (a + 1)(a - 1) olur. bu eşitsizlik ise daima doğru olup eşitlik hali ancak a = 1 iken sağlanır.

Şimdi a > 1 ve b > 1 durumunu inceleyelim. a2 + b2 - 2 > ab - 1 olduğunu görmek kolaydır. Zira bu eşitsizlik a3 + b3 > a + b eşitsizliğine denktir. Diğer taraftan a2b2 > a + b olduğunu da görterebiliriz. Bunun için (a2 - 1)(b2 - 1) > 0 eşitsizliğinde parantezleri açmak yeterlidir. Velhasıl bu eşitsizlikler tafar tarafa çarpılırsa a2b2(a2 + b2 - 2) > (a + b)(ab - 1) kesin eşitsizliği bulunur. Eşitlik durumu sağlanamaz.

Benzer düşünce ile a < 1 ve b < 1 durumları da irdelenebilir. Burada a = 1/x, b = 1/y dönüşümü yapılırsa x > 1, y > 1 olacaktır. Bundan sonra yukarıda kullandığımız türden bir yol takip edilebilir. Yine kesin eşitsizlik bulunur.

Son olarak a < 1 ve b > 1 durumuna bakılırsa a = 1/x değişken değiştirmesi yapılarak x > 1 eşitsizliği kullanılabilir. Bunun sonucunda da kesin eşitsizlik bulunur.

Demek ki sadece a = b = 1 için eşitsizlikte eşitlik hali sağlanır. Diğer durumlarda eşitlik sağlanmaz ve eşitsizlik kesindir.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: İlköğretim 2010 2. Aşama
« Yanıtla #4 : Ocak 16, 2011, 11:27:43 ös »
geometri sorusu için O merkezinin [AB] üzerinde alınmasının problemin genelliğini bozmadığını farkettim. Çözümde ufak bir ekleme yaparak tekrar yollarım.

şimdi eşitsizlik sorusu için artofproblemsolving.com da verilen farklı bir çözümü sunalım:
« Son Düzenleme: Ocak 16, 2011, 11:29:35 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı proble_m

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 159
  • Karma: +3/-0
    • Watewatik
Ynt: İlköğretim 2010 2. Aşama
« Yanıtla #5 : Ocak 17, 2011, 06:54:37 ös »
çözümde alt durumların analizi aşaması oldukça zaman alıyor. toplamda 4,5 sınav süresi var ama bu süre bile öğrencilere az gelmiş olabilir. (belki de daha pratik çözümler vardır)

2. sorunun çözümü:


Lokman hocam,

m>1012,5 gerekçenizi anlayamadım. Ayrıca d=0 için çözüm olmamasını da anlamadım.

n+15 = a değişimi yaptıktan sonra çözünce d = 0 durumunda a = 1849 (yani n = 1834) ve m= 2666 bir çözüm oluyor.
Akarsuyum haldan hala büründüm
Cahilin gözünde nokta göründüm
Derya idim damlalara bölündüm
Çok bulandım süzemedim ben beni

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: İlköğretim 2010 2. Aşama
« Yanıtla #6 : Ocak 17, 2011, 09:52:50 ös »
hatamı gördüm, uyarınız için teşekkürler Barış bey :) çözümümdeki temel çıkış noktası

(2n + 2m + 2025)(2n - 2m + 2025) = 32.52.72.192

eşitliğidir. Buradan sonra çarpanları deneyerek tam 39 çözüme ulaşabiliyoruz. Bununla beraber m > 1012,5 ve d = 0 olma zorunluluğu yok. Ben hatalı bir işlem yapmışım. 39 çözümün elde edilişiyle ilgili tafsilatlı bir yazı hazırlayacağım inş.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı proble_m

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 159
  • Karma: +3/-0
    • Watewatik
Ynt: İlköğretim 2010 2. Aşama
« Yanıtla #7 : Ocak 21, 2011, 03:48:46 ös »
Öğrencileri o harfiye gösterelim:

1. soruyu o1,o2,o3,o4
Her soru ikilisini tam olarak bir öğrenci çözdüğüne göre, genelliği bozmadan o1 alalım:
2. soruyu o1, o5,o6,o7
Aynı mantıkla soru (1,3) ü o2 ve soru (2,3) ü o5 çözsün:
3. soruyu o2, o5,o8,o9
Soru (1,4) ü o3, soru (2,4) ü o6 ve soru (3,4) ü o8çözsün:
4. soruyu o3, o6, o8,o10
Soru (1,5) ü o4, soru (2,5) i o7, soru (3,5) i o9 ve soru (4,5) i o10çözsün:
5. soruyu o4, o7,o9,o10
....biter.
Akarsuyum haldan hala büründüm
Cahilin gözünde nokta göründüm
Derya idim damlalara bölündüm
Çok bulandım süzemedim ben beni

Çevrimdışı Ferhat GÖLBOL

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 165
  • Karma: +2/-0
Ynt: İlköğretim 2010 2. Aşama
« Yanıtla #8 : Ocak 29, 2011, 12:56:36 ös »
soru3:
n'inci öğrenciyi on harfiyle, n'inci soruyu Sn kümesi ile gösterelim.Sn kümesinin elemanları n'inci soruyu çözen öğrenciler olsun. Soruda verilene göre her bir Sn kümesi 4 elemanlı ve her Sa kümesiyle Sb kümesinin kesişimi bir elemanlıdır (a eşit değil b).

Hipotez: Her öğrenci en fazla 4 soru çözebilir.
İspat: Bir o1 öğrencisi S1,S2,S3,S4 ve S5 sorularını çözmüş olsun. Hiçbir öğrenci tüm soruları çözmediğine göre o1 elemanını içermeyen bir S6 kümesi bulunmalı ve S6 kümesinin Sn|n=1,2,..,5 kümelerinden her biriyle kesişimi bir elemanlı olmalıdır. İlk 5 kümede o1 oyuncusu ortak olduğuna göre de bu 5 kümenin herhangi ikisinin
o1'den başka ortak elemanı yoktur. Bu nedenle de S6 kümesinin Sn|n=1,2,..,5 kümelerinden her biriyle ortak elemanı farklıdır. Bu koşulları sağlayan S6 kümesi en az 5 elemanlı olur ki tam olarak 4 elemanlı olmalıdır. Dolayısıyla hiçbir öğrenci 5 soru çözemez.

Sorunun çözümüne dönelim.
S1={o1,o2,o3,o4} olsun. Hipoteze göre o1 elemanını içeren en fazla 3 küme daha oluşturulabilir. Benzer şekilde o2,o3,o4 elemanlarını içeren en fazla üçer küme bulunur ve bu durumda en fazla 13 küme oluşur.o1,o2,o3 veya o4'ü bulundurmayan bir kümenin S1 ile kesişimi boş küme olacağından verilen şartı sağlamaz.

13 soru için çözüm:

S1={o1,o2,o3,o4}       S5={o2,o5,o8,o11}       S8={o3,o5,o9,o13}       S11={o4,o5,o10,o12}
S2={o1,o5,o6,o7}       S6={o2,o6,o9,o12}       S9={o3,o6,o10,o11}      S12={o4,o6,o8,o13}
S3={o1,o8,o9,o10}      S7={o2,o7,o10,o13}      S10={o3,o7,o8,o12}      S13={o4,o7,o9,o11}
S4={o1,o11,o12,o13}
"Biz bilimadamları kumsalda çakıl taşları arayan çocuklar gibiyizdir. Eğer ben arkadaşlarımdan biraz daha fazla çakıl taşı toplayabildiysem bunun nedeni dizlerime kadar suya girmeye cesaret edebilmiş olmamdır."
Sir Isaac Newton

Çevrimdışı proble_m

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 159
  • Karma: +3/-0
    • Watewatik
Ynt: İlköğretim 2010 2. Aşama
« Yanıtla #9 : Ocak 29, 2011, 02:51:40 ös »
Her soru ikilisini bir öğrenci çözmüştür cümlesinden çözülen soru ikililerinin çözücülerinin birbirinden farklı olması gerektiğini düşünerek çözüm vermiştim.
Ferhat hocamın çözümünde çözenlerin aynı kişi olabileceği görülüyor: Örneğin;
(S1,S2), (S1,S3) ve (S1,S4) ikililerini sadece o1 çözmüştür.
Akarsuyum haldan hala büründüm
Cahilin gözünde nokta göründüm
Derya idim damlalara bölündüm
Çok bulandım süzemedim ben beni

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: İlköğretim 2010 2. Aşama
« Yanıtla #10 : Ocak 29, 2011, 10:48:08 ös »
zihninize sağlık, ilginiz için teşekkürler arkadaşlar ...

problemleri artofproblemsolving'de de sormuştum. 3. problem için graf teorisinde Steiner Sistemi olarak adlandırılan konu ile ilişkilendirilerek bir çözüm verilmişti.

diğer yaklaşımları incelemek isteyenler için linkleri veriyorum:

Problem 1: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=386755&p=2147702#p2147702

Problem 2: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=56&t=386833&p=2148252#p2148252

Problem 3: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=41&t=386835&p=2148255#p2148255

Problem 4: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=51&t=386832&p=2148242#p2148242
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: İlköğretim 2010 2. Aşama
« Yanıtla #11 : Ocak 30, 2011, 02:30:34 öö »
(pek kısaltamadım ama yazmak zamanımı aldı, ziyan olmasın :)) 2.soru için bir çözüm:
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: İlköğretim 2010 2. Aşama
« Yanıtla #12 : Ocak 30, 2011, 02:40:27 öö »
1. soru için verdiğim çözümde küçük bir düzeltme yaparak genel çözüm hazırlamıştım. ayrıca verdiğim linkteki ikinci çözümü de çizimle süsleyerek ekliyorum :)

Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Ferhat GÖLBOL

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 165
  • Karma: +2/-0
Ynt: İlköğretim 2010 2. Aşama {çözüldü}
« Yanıtla #13 : Şubat 16, 2011, 09:19:38 ös »
1. soru için çözümüm:
"Biz bilimadamları kumsalda çakıl taşları arayan çocuklar gibiyizdir. Eğer ben arkadaşlarımdan biraz daha fazla çakıl taşı toplayabildiysem bunun nedeni dizlerime kadar suya girmeye cesaret edebilmiş olmamdır."
Sir Isaac Newton

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: İlköğretim 2010 2. Aşama {çözüldü}
« Yanıtla #14 : Şubat 17, 2011, 07:28:46 ös »
Ferhat kardeşim çözümün doğru fakat çizim hatalı. A noktası çemberin merkezi değil. A noktası çemberin geçtiği herhangi bir nokta olmalı.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal