Zar Oyunu{Çözüldü}

[senior]

Tavla zarını (yüzlerinde 1,2,4,3,5,6 sayıları var ve hepsi eşit olasılıkta) ardarda atarak bir oyun oynuyoruz. Eğer bir önceki attığımız zardan daha büyük veya eşitse atmaya devam ediyoruz; taki küçük gelene kadar. Oyunun ortalama kaç atışta bitmesini beklersiniz?
(Mesela, attığımız zarlar sırasıyla 3,3,4,6,6,1 ise 6'dan sonra 1 geldiği için oyun biter)

[senior]

Çözümü paylaşmanın zamanı geldi sanırım

Soru Olasılık Teorisindeki Beklenen Değer (Expected Value) ile alakalıdır.
İstenilen sonuca X diyelim. Yani oyunun başındayız ve oyunun ortalama X elde bitmesini bekliyoruz.

-- Attığımız zar 1 ise(1/6 olasılıkla), sonra atacağımız zar hiçbir şekilde oyunu bitiremez. Çünkü bütün zarlar 1'den büyük ya da 1'e eşit. Yani başladığımız yere geri döndük. Oyunun geri kalanının yine X elde bitmesini bekleriz.

-- Attığımız zar 2 ise(1/6 olasılıkla), sonra atacağımız zar ancak ve ancak 1 ise oyun biter. Değilse, oyun devam eder. Bu aşamada bir önceki attığımız zar 2 olduğundan, şimdiki beklentimiz biraz daha değişik olacaktır. Bu beklentiye de X₂ diyelim.

-- Benzer şekilde şu tanımı yapabiliriz: Bir önceki el attığımız zar k ise, bundan sonra oyunun X_k elde bitmesini bekleriz.

O zaman, X = (1/6)X + (1/6)X₂ + ... + (1/6)X₆ + 1    yani
 (5/6)X = (1/6)X₂ + ... + (1/6)X₆ + 1            (E1)    şeklinde yazılabilir.
Yani 1/6 ihtimalle oyunun geri kalanının X elde, 1/6 ihtimalle oyunun geri kalanının X₂ elde ... vs bitmesi gerekir. Olasılıkları ile toplayıp, zarı attığımız eli de eklersek( yani + 1) yukarıdaki eşitliği elde ederiz.

Diyelim ki, bir önceki el 2 attık. Ve buradan sonra oyunun kaç elde biteceğini merak ediyoruz. Benzer mantıkla,
1 gelirse,  oyun direkt biter, yani oyunun geri kalanı diye bir şey kalmaz (1/6 olasılık)
2 gelirse,  oyun devam eder, oyunun geri kalanının X₂ elde bitmesini bekleriz. (1/6 olasılık)
3 gelirse,  oyun devam eder, oyunun geri kalanının X₃ elde bitmesini bekleriz. (1/6 olasılık)
...
Zarı attığımız eli de sayarsak, benzer şekilde aşağıdaki eşitlik yazılabilir.
X₂ = (1/6)X₂ + (1/6)X₃ + ... + (1/6)X₆ + 1, yani
(5/6)X₂   =  (1/6)X₃ + ... + (1/6)X₆ + 1          (E2)

E1 ve E2 eşitlikleri birleştirilirse,
X = (6/5)X₂      elde edilir.
Benzer şekilde,
X₂ = (6/5)X₃
X₃ = (6/5)X₄
...
X₅ = (6/5)X₆ 'da yazılabilir. Taraf tarafa çarparsak,
X = (6/5)⁵X₆

Tek kalan X₆'yı hesaplamak. Bir önceki el zarımız altı gelmiş, bundan sonra oyunun kaç elde bitmesini bekliyoruz? 6 gelirse devam eder, başka bir zar gelirse oyun biter.
5/6 olasılıkla 1 el,
(1/6)*(5/6) olasılıkla 2 el,
(1/6)²*(5/6) olasılıkla 3 el
...

O zaman,
X₆ = (5/6) + (1/6)*(5/6)*2 + (1/6)²*(5/6)*3 ... = (5/6)*[1 + 2x + 3x² + ... ] (x=1/6)
X₆ = (5/6)*[x + x² + x³ + ... ]'   ( ' işareti türev anlamında )
X₆ = (5/6)*[x/(1-x)]' = (5/6)/(1-x)² = 6/5

O zaman, X = (6/5)⁶ ~ 2.98 (Yan oyunun yaklaşık 3 elde bitmesini bekleriz)

Ayrıca, zarın n yüzü olsun, benzer bir hesap ile oyunun (1+1/(n-1))ⁿ elde bitmesi beklenir(bu kısmı da artık size bırakıyorum ). n için limit alınırsa bu sayının e olduğu görülür.

[Lokman Gökçe]

Paylaştığın için teşekkürler Güneş kardeşim, ilginç bir çözümü varmış

[senior]

Estaf. Hocam; ilginçliği devam ettirip sorunun orjinaline gidelim
Bu oyun sonunda attığımız zarların toplamının ne olmasını bekleriz?

[senior]

Bir zarı attığımızda gelen sayının (1+2+3+4+5+6)/2 = 7/2 olmasını bekleriz. Aslında beklemeyiz ama 100000 kez atıp ortalamasını alırsak 7/2 olmasını bekleriz.
Oyunun da (6/5)⁵ elde bitmesini bekliyorduk.
O zaman oyun sonunda (6/5)⁵ x 7/2 ~ 10.45 puan toplamayı bekleriz.