Afyon Matematik Kampı Lise 2. Kademe Kamp Sonu Sınavı

[Lokman Gökçe]

Tübitak tarafından desteklenen ve 20 Temmuz 3 Ağustos tarihleri arasında Afyon'da lise öğretmenlerine yönelik yapılan Matematik Olimpiyat Eğitimi 2. Kademe Kampı'nda sorduğumuz Kamp Sonu Sınav Soruları'nı sunalım. Kolay gelsin ...

[alpercay]

3.Soru. m² -13m + 23  ifadesinin bir tam kare olmasını sağlayan tüm  m tam sayılarını bulmak istiyoruz. n bir tam sayı olmak üzere  m² -13m + 23  = n²  şeklinde yazalım ve ifadeyi tam kare yapmak için her iki tarafı 4 ile genişletelim.

4m² -52m + 92  = 4n²
4m² -52m +169 - 169 + 92 = 4n²
(2m - 13 - 2n)(2m - 13 + 2n) = 77 = 7.11 = (-7)(-11) = 1.77 = (-1)(-77)

2m - 13 - 2n = 7  ve  2m - 13 + 2n = 11  eşitliklerinden   m = 11                                    2m - 13 - 2n = -7 ve  2m - 13 + 2n = -11 eşitliklerinden  m = 2
2m - 13 - 2n = 1   ve  2m - 13 + 2n = 77  eşitliklerinden  m = 26
2m - 13 - 2n = -1  ve  2m - 13 + 2n = -77 eşitliklerinden  m= -13

değerleri bulunur.

[alpercay]

5.Soru. ABCD  teğetler dörtgeninin kenar uzunlukları  a,b,c,d  ve m(B) = 120, m(C) = 120 olmak üzere   d² = a² + b² + c² olduğunu göstermek istiyoruz.Dörtgenin  AB  ve DC kenarlarını uzatalım ve bunların kesim noktasına E diyelim.Bu durumda  m(E) = 60 derece ve bir kenarı b olan BEC  eşkenar üçgeni ve  |DE| = b + c , |AE| = b + a  olan  ADE üçgeni oluşur.

   Dörtgenin iç teğet çemberinin merkezi O ve yarı çapı  r olsun.O dan BC kenarına  dikme indirilir ve O noktası ile B ve C noktaları birleştirilirse oluşan 30-60-90 üçgeninden faydalanarak   b = 2r / kök(3)  ve  r = 2b / kök(3) bulunur.

   ADE üçgenine E köşesine göre kosinüs teoremi uygulanınca 

                             d² = a² + b² + c² + bc + ab - ac  eşitliğine ulaşılır........(1)

   Şimdi teğetler dörtgeninin alanını iki farklı yoldan ifade edelim. u = (a + b + c + d) / 2 ve teğetler  dörtgeninde  a + c = b + d olduğundan  u = a + c  ve  S = Alan(ABCD) göstermek üzere   S = u.r = (a + c )b.kök(3)/2   yazılabilir.

   S = Alan(AED) - Alan(BEC) şeklinde de ifade edilebilir.Hesaba geçersek
   S = (1 / 2).(b + c)(b + a).sin60 - b²kök(3) / 4 = (a + c )b.kök(3)/2
alanların eşitliğinden
 
                        ac = ab + bc

elde olunur.Bu değer   (1) de yerine yazılırsa

                         d² = a² + b² + c²

eşitliğine ulaşılır.
   
   

[arthur coimbra]

1.soru çözüm

[alpercay]

6.Soru.  ABC üçgeninde C den çizilen açıortay ve yükseklik [AB] kenarını sırasıyla L, H de kessin.
L den AC ve BC ye çizilen dikme ayakları M, N olsun. AN, BM, CH doğrularının aynı noktadan
geçtiğini ispatlayınız.

Çözüm. AN,BM ve CH doğrularının aynı noktadan geçtiğini göstermek demek Ceva Teoremi'nin yani  BN/NC.CM/MA.AH/HB = 1 olduğunu kanıtlamak demektir.LMC ve LNC üçgenlerinin eşliğinden  CM = NC olduğundan kanıtlamak istediğimiz eşitlik  BN/HB.AH/MA = 1....(1) şekline dönüşür.
ABC üçgeninde açıortay teoreminden BL/BC = AL/AC ...(2)  ve  LBN ile CBH üçgenlerinin benzerliğinden   BL/BC = BN/HB...(3) yazılabilir.(2)  ve (3) den BN/HB = AL/AC  eşitliğine ulaşılır.Bunu (1) de yerine yazarsak göstermek istediğimiz eşitlik AL/AC.AH/MA = 1 şekline gelir.
ALM ve ACH üçgenlerinin benzerliğinden  AL/AC = MA/AH eşitliğini elde ederiz.Bu son eşitliği bir üstteki eşitlikte yerine yazarsak BN/NC.CM/MA.AH/HB = 1 olduğunu kanıtlamış oluruz.

[geo]

2)
A=1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ; her zaman çifttir.
Bu nedenle 5|A ise 10|A dır.
n=tek ise;
1ⁿ+4ⁿ = 0 (mod 5)
2ⁿ+3ⁿ = 0 (mod 5)
olacağından 10|A.

n=çift ise;
A=1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ=1ⁿ+2ⁿ+2ⁿ+1ⁿ=2+2.2ⁿ=2(1+2ⁿ)=0 (mod 5) olacağından n=4k+2 olacaktır.
Tek 4k+1 ve 4k+3 ile çift 4k+2 sayıları için 10|A. Bu durumda n=4k için A, 10 ile bölünmez.
1000<=n<1100 aralığındaki 101 sayıdan 26 sı 4 ile bölünür. Bu durumda 101-26=75 sayı için 10|A.

[geo]

7)
a₁ = 1
a₂ = 3

a₁₁ = a₁₀x1 + a₉x2


a_n+2 = 2a_n +a_n+1
r²-r-2=0 => r₁=2 ve r₂=-1
a_n = A2ⁿ+B(-1)ⁿ
a₁ = 1 = 2A-B
a₂ = 3 = 4A+B
A = 2/3 B=1/3
a_n = (2/3).2ⁿ+(1/3)(-1)ⁿ = (2ⁿ⁺¹+(-1)ⁿ)/3 => a₁₁ = (2¹²-1)/3=1365

[geo]

8 )

AO >= GO
y+z+z >= 3(yz²)^1/3
(y+2z)²/x >= 9(y²z⁴)^1/3/x
(z+2x)²/y >= 9(z²x⁴)^1/3/y
(x+2y)²/z >= 9(x²y⁴)^1/3/z

A = (y+2z)²/x+(z+2x)²/y+(x+2y)²/z
>= 9( (y²z⁴)^1/3/x +  (z²x⁴)^1/3/y + (x²y⁴)^1/3/z)

AO >= GO
( (y²z⁴)^1/3/x +  (z²x⁴)^1/3/y + (x²y⁴)^1/3/z) >= 3(((x⁶y⁶z⁶)^1/3)/(xyz))^1/3 =3(xyz)^1/3>=3

A >= 9.3=27
 

[Lokman Gökçe]

İlginiz için teşekkürler arkadaşlar. Geriye 4. soru kalmış. Biraz daha uğraşmak isteyenler için sadece cevabın kaç olduğunu vereyim.

4. sorunun cevapları:
a) 9! = 362880     b) 60480

[Lokman Gökçe]

8. sorunun 2. çözümü:

[alpercay]

Dün faydalı eşitsizliğin paydasına xyz yazınca işin içinden çıkamamıştım.Demek ki verdiğin kopya sayesinde soruyu çözmeme ramak kalmış Lokman Hocam:)