sonraki »

[scarface]

a,b,c>0 reel sayılar olmak üzere bu üç sayı için
karesel ortalama = [(a² + b² +c²)/3]^1/2
aritmetik ortalama = (a + b + c)/3
geometrik ortalama = (a.b.c)^1/3
harmonik ortalama = [(a^-1 + b^-1 + c^-1)/3]^-1
olarak tanımlanır.Buna göre

H.O < G.O < A.O < K.O olduğunu ispatlayınız. Eşitlik durumu ancak ve ancak a = b = c iken sağlanır.

[scarface]

ortalama eşitsizliklerinin hepsi bunlar değil. daha genel haldeki ortlama eşitsizliklerinin ispatlarına buradan devam edebiliriz. ben üsttekileri ispatlayayım:

Önce A.O < K.O eşitsizliğine bakalım:
(a + b + c)/3 < [(a² + b² + c²)/3]^1/2
(a + b + c)²/9 < (a² + b² + c²)/3
2(ab + ac + bc) < 2(a² + b² + c²)
(a - b)² + (b - c)² + (c - a)² > 0
bu son eşitsizliğin doğru olduğunu biliyoruz ve eşitlik durumu ancak ve ancak a = b = c iekn sağlanır. O halde ilk eşitsizlik de doğrudur.

Şimdi de G.O < A.O eşitsizliğine bakalım. Bundan önce, her x, y, z reel sayısı için doğru olan:
 x³ + y³ + z³ - 3.x.y.z = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) özdeşliğini yazalım. Bunun ispatı kolaydır. Sağ taraftaki parantezleri açarak sol tarafa eşit olduğu kolayca görülebilir. Başka bir yol da x³ + y³ + z³ - 3.x.y.z polinomunu bölme algoritması ile  (x + y + z) polinomuna bölmektir. Bölümün (x² + y² + z² - xy - yz - zx) olacağı gösterilip özdeşlik ispatlanır.

(a.b.c)^1/3 < (a + b + c)/3 eşitsizliğinde a = x³, b = y³, c = z³ değişken değiştirmesi yapalım.
x³ + y³ + z³ > 3.x.y.z olduğunu göstermeliyiz. Fakat yukarıdaki yazdığımız özdeşlikte birinci çarpan x + y +z > 0 aşikar ve x² + y² + z² - xy - yz - zx = 1/2.((x - y)² + (y - z)² + (z - x)²) > 0 olur. Böylece görüyoruz ki özdeşliğin sağ tarafı negatif olmamaktadır. O halde sol taraf da negatif olamaz ve x³ + y³ + z³ - 3.x.y.z > 0 bulunur. Eşitlik, ancak ve ancak x = y = z (ve dolayısıyla a= b = c) için sağlanır.

Son olarak H.O < G.O kaldı. 3/(a^-1 + b^-1 + c^-1) < (a.b.c)^1/3 olduğunu göstereceğiz. a = x^-1, b = y^-1, c = z^-1 değişken değiştirmesi yaparsak (x + y + z)/3 > (x.y.z)^1/3 eşitsizliğini elde edeceğimiz görülebilir. Bu ise bildiğimiz A.O > G.O eşitsizliğinden başka birşey değildir. Bitti.

[alpercay]

Bir zamanlar yaptığım bir derleme.