Number of real roots $4^x=x^2,2^x=1+x^2,3^x+4^x+5^x=x^2$

[stuart clark]

number of real roots of the equations in following cases

(1) 4^x = x²

(2) 2^x = 1+x²

(3) 3^x+4^x +5^x  = x²

[Beyşehirli]

2. soru için: grafikten görüleceği üzere bu iki fonksiyon x=0 noktasında ve bir de 1 ile 2 arasında bir x değerinde kesişirler..
1 için de aynı şekilde yapılaır ancak 3 için bir fikrim yok

[alpercay]

  2 inci soruda  2^x  ve   1+x²  eğrileri 2 değil 3 noktada kesişiyorlar.İlk soruda kesim noktası sayısı 1  ve son soruda kesim noktası sayısı yine 1 oluyor.Tabii bu sayıları bilgisayar marifetiyle söylüyoruz.
Bu arada $e^x=x^2$ için örnek bir çözüm yapalım (21.12.2023)
(-sonsuz, 0) aralığında f(x) =x^2 monoton azalan, g(x) =e^x her aralıkta monoton artan olduğundan h(x) =x^2-e^x fonksiyonunun bu aralıkta bir kökü vardır veya başka bir deyişle x^2 ve e^x bir noktada kesişirler. Hatta h(-1)>0 ve h(0)<0 olduğundan kesim noktası (-1,0) aralığındadır.

(0,sonsuz) aralığında hem f(x) =x^2, hem de g(x) =e^x fonksiyonu monoton artan olduğundan hangisinin en çok/daha hızlı arttığını belirlemek için türevlerini karşılaştırmalıyız.

Büyük x değerleri için g(x) >f(x) olduğu görülebilir fakat küçük x değerlerinde bundan emin olamıyoruz. O zaman f''(x) =2 ve g"(x) =e^x türevin türevini (ivmeleri) karşılaştıralım.
f ve g monoton artan ve g(0)=1>f(0)=0 ve g(1)=e>f(1)=1 olduğundan, yani g(x) >f(x) olduğundan [0,1] aralığında f ve g nin grafikleri kesişmezler. (Aslında [0,ln2] aralığında f">g" dür(f g den hızlı artar) fakat bu aralıkta f<g olduğunu bildiğimizden f fonksiyonu g yi yakalayamaz)
(ln2, sonsuz) için f"(x) =2<g(x)=e^x (yani g' fonksiyonu f' fonksiyonundan daha hızlı attığından) olduğundan bu aralıkta da f' fonksiyonu g' fonksiyonunu yakalayamaz.
Yani (0,sonsuz) aralığında f ve g fonksiyonlarının kesim noktaları mevcut olmayıp tek kesim noktası (-1,0) aralığındadır.

[Beyşehirli]

haklısınız alper hocam grafiği göz kararı çizince 3. kesişme noktasının var olabileceğini düşünmedim..

[senior]

Hocam, bu tür sorular için türevlere bakmak gerekir. Sorunun geri kalanı için arkadaşın da anlaması için ingilizce kullanacağm.
In these type of questions, you need to examine the derivatives of necessary order.
For example, for the 3rd question, Let f(x) = 3^x + 4^x + 5^x  and g(x) = x²
f'(x) = ln3 3^x +  ln4 4^x +  ln5 5^x and g'(x) = 2x.
For g(x) we have g'(x) < 0 when x < 0 and g'(x) > 0 when x > 0; This means g(x) is monotonically increasing when x > 0
On the other hand, it is obvious that f'(x) > 0 for all x. So, f(x) is monotonically increasing for all x.
Lets examine the point, x = 0. f(0) = 3, g(0) = 0 --> f(0) > g(0); Since both f(x) and g(x) are increasing we need to determine which one is increasing at most(compare the derivatives). For large values of x, obviously f(x) will be much larger, but for smaller values of x, we dont know for sure what is happening between these two functions.
So, let's compare the derivatives, which one is larger: f'(x) or g'(x) and on which interval??
Again we need to treat f'(x) and g'(x) as seperate functions and take their derivatives for determining which one is larger.
f''(x) =  ln²3 3^x +  ln²4 4^x +  ln²5 5^x and g''(x) = 2.
for  x > 0, 3^x,4^x,5^x > 1 and ln²3,ln²4,ln²5 > 1 since e < 3 --> f''(x) > ln²3 +  ln²4 +  ln²5 > 3 > g''(x) = 2
So, f'(x) is increasing faster than g'(x) and at start(x=0), it is already larger. So, g'(x) cannot catch f'(x) for x > 0, which means f'(x) > g'(x) for x > 0
It also means f(x) > g(x) for x > 0 because f(0) > g(0), which means f(x) and g(x) cannot intersect at region x > 0
Now, let's also look at x < 0 region. As x decrease(move left), since g'(x) < 0 and f(x) > 0, g(x) monotonically increases and f(x) monotonically decreases.
f(0) > g(0) and f(-infinity) < g(-infinity) and f is monotonically decreasing and g is monotonically increasing as x decreases ==> f(x) and g(x) meet at a single x location.
So, there is only one real root for the 3rd equation.

[stuart clark]

Thanks Senior