Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 22

[ERhan ERdoğan]

$x^{2}+1\equiv ax \pmod{23}$ olacak şekilde en az bir $x$ tam sayısının bulunmasını sağlayan kaç farklı $0 \leq a < 23$ tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 10
\qquad\textbf{d)}\ 11
\qquad\textbf{e)}\ 12
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

$x^2 - ax + 1 \equiv 0 \pmod {23}$ denkliğinin çözümü olması için $\Delta = a^2 - 4$ ün $\bmod {23}$ te bir tam kare olması gerekir.

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
& 0 & 1 & \color{red}2 & 3 & \color{red}4 & 5 & \color{red}6 & 7 & 8 & \color{red}9 & \color{red}{10} & \color{red}{11} & \dots \\
\hline a^2 \mod {23}& 0 & 1 & \color{red}4 & 9 & \color{red}{16} & 2 & \color{red}{13} & 3 & 18 & \color{red}{12} & \color{red}8 & \color{red}6 & \dots\\
\hline a^2-4 \mod {23}& 19 & 20 & \color{red}0 & 5 & \color{red}{12} & 21 & \color{red}9 & 22 & 14 & \color{red}8 & \color{red}4 & \color{red}2 & \dots\\
\hline
\end{array}$

$a=11$ e kadar $6$ çözüm olduğu için toplamda $12$ çözüm vardır.