Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 19

[ERhan ERdoğan]

$f\left ( x \right )=ax^{2}-3ax+2a+23$ fonksiyonu her $1 \leq x \leq 2$ için $\left | f(x) \right |\leq 23$ koşulunu sağlıyorsa, $a$ nın alabileceği en büyük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 178
\qquad\textbf{b)}\ 181
\qquad\textbf{c)}\ 184
\qquad\textbf{d)}\ 187
\qquad\textbf{e)}\ 190
$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt: $\boxed{C}$

$f\left ( x \right )=a(x-1)(x-2)+23$ ün mutlak değerinin $23$  ten küçük olması için $-46 \leq a(x-1)(x-2) \leq 0$  olmalı.  $a$  nın en büyük değerini soruyor o yüzden pozitif kabul edebiliriz. $1 \leq x \leq 2$  için zaten $a(x-1)(x-2) \leq 0$ dır.  O zaman  $a(x-1)(x-2)+46 \geq 0$  olduğunu incelemeliyiz. Bu denklemin deltasının sıfırdan küçük eşit çıkması lazım.  $\triangle = 9a^2-4\cdot a\cdot (2a+46) \leq 0$  olur.   Yani  $a^2 \leq 184a$  olur . Bu da $a\leq 184$   demektir.  $a$  nın alabileceği en büyük değer $184$ tür.