Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 17

[ERhan ERdoğan]

Düzlemde bir çember ve bu çemberin dış bölgesinde $A_{1},A_{2}, \dots , A_{n}$ noktaları veriliyor. Bu çemberin üzerindeki her $A$ noktası için, $[AA_{1}], [AA_{2}], \dots , [AA_{n}]$ doğru parçalarından en az üçü çemberi yalnızca $A$ noktasında kesiyorsa, $n$ en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ 8
$

[taftazani44]

Yani her A noktasından çizilen tegetin üzerinde bu noktalardan enaz 3 tane vardır.
Doğru mu anlamışım

[Eray]

Yani her A noktasından çizilen tegetin üzerinde bu noktalardan enaz 3 tane vardır.
Doğru mu anlamışım

Evet.

[mehmetutku]

Yani her A noktasından çizilen tegetin üzerinde bu noktalardan enaz 3 tane vardır.
Doğru mu anlamışım

Soruda doğru parçası diye soruyor. Sizin dediğiniz durum doğru diye sorsaydı olurdu. Dolayısıyla bence çıkarımınız doğru değil.

[Eray]

Evet tam olarak doğru değil. Biraz daha doğru ifade edelim.
$A_i$ den çembere çizilen teğetlerin arasında kalan çember yayına $B_i$ diyelim. Çember üzerindeki her $A$ noktası, en az üç adet $B_i$ yayının üzerindedir.

[taftazani44]

Bu mantıkla seçeneklerdeki sayılar çok küçük geldi bana
Yada ben hala soruyu doğru algılayamadım

[Buğra Doğan]

Bu soru için benim çözümüm böyle;
 
Anladığım kadarıyla, çember üstündeki herbir nokta, çember dışındaki tüm noktalarla kendi aralarında birleştirildiğinde oluşan doğru parçalarından en az üçü çemberi sadece çember üzerindeki noktada kesecek. Yani aslında önemli olan çember dışındaki noktanın çemberde taradığı alandaki noktalar kümesi ve dahilinde teğet olduğu noktalar. Bu noktalar çember dışındaki en az üç noktanın ortak taradığı alanda olmalı yada teğet olduğu nokta dahilinde olmalı. Dışarda bulunan bir noktanın çemberi tarayabileceği maksimum açı 179.99.. olur. Ama soruda bize en az sayıda kaç nokta çemberin tamamı tarandığında çember üzerindeki her nokta dışardaki en az üç noktanın kesişim alanında olur denmek istendiği için dışarıdaki noktaların çemberi 180 derece tarabiliyor olduğunu farzedip şekle dökersek en az 6 noktanın olması gerektiğini görürüz. Aşağıdaki resimde olduğu gibi A1,A2,A3,A4,A5 ve A6 noktaları her biri çemberin farklı bir 180 derecelik alanını tarıyor ve çember üzerinden alacağımız her A noktası dışarıdaki noktalardan en az 3'ünün kesişim alanında.

Yani bu noktalarda doğru parçası oluşturduklarında en az 3 doğru parçasının çemberi kesen tek noktası kendisi (Soruda istenilen). Ancak çember dışı hiçbir nokta tek başına çemberin 180 derecelik alanını tarayamayacağı bildiğimizden (paralellik oluşur) ve kalan alan için en az bir noktaya daha ihtiyaç duyulacağından cevabımız 7 bulunur. Bu durumda ''n'' sayısı en az 7 olmalıdır.

Cevap: D

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

Cevap: $7$.
Çemberin merkezi $O$ olsun. $A_1 O$ ya paralel olup çembere teğet olan iki doğru vardır, bu doğrular $\ell_1, \ell_2$ ve çembere değdikleri noktalar $P_1, P_2$ olsun. Soruda verilen koşulu $A=P_1$ ve $A=P_2$ için değerlendirirsek, $A_1, A_2, \ldots A_n$ den en az $3$'ünün $\ell_1$ e göre çember ile farklı tarafta ve en az $3$'ünün $\ell_2$ ye göre çember ile farklı tarafta olduğunu görürüz, bir de $A_1$ var, böylece $n \geq 7$ dir. Çember ile merkezdeş olan çok büyük bir düzgün $7-$genin köşeleri verilen şartı sağlar, o halde cevap $7$.

Kaynak: Tübitak 23. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2015