Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 09

[alpercay]

$\left [ AB \right ]$ çaplı çemberin $\left [ CD \right ]$ kirişi $\left [ AB \right ]$ ye diktir. $M$ ve $N$ sırasıyla, $\left [ BC \right ]$ ve $\left [ AD \right ]$ nin orta noktaları olmak üzere, $\left | BC \right |= 6$ ve $\left | AD \right |=2\sqrt{3}$ ise $\left | MN \right |$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 3\sqrt{2}
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt{21}
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

$AB \cap CD = E$ olsun. $BC/AD = CE/AE = \dfrac{6}{2\sqrt 3} = \sqrt 3 \Rightarrow \angle CAB = 60^\circ$.
$AC$ nin orta noktası $K$ olsun. $KM \parallel AB$ ve $KN \parallel CD$ dir.
$\angle AK=AN=\sqrt 3$ ve $\angle KAN = 120^\circ \Rightarrow KN = 3$.
$AB = 4\sqrt 3 \Rightarrow KM = 2\sqrt 3$.
$\triangle MKN$ bir dik üçgendir. $MN = \sqrt{(3)^2 + (2\sqrt 3)^2} = \sqrt {21}$.