Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 28

[ERhan ERdoğan]

Bir çember etrafında yazılı $n$ tam sayıdan her biri, kendisini saat yönünde izleyen iki sayının farkının mutlak değerine eşit olup, tüm sayıların toplamı $278$ ise, $n$ kaç farklı değer alabilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 139
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

En büyük sayı $x$, onu saat yönünde takip eden sayı da $y<x$ olsun. $y$ den bir sonraki sayı $x+y$ olmalı. Bu durumda $x+y>x$ olacaktır.
Bu durumun istisnaları $y=0$ veya $y=x$ olup her iki durumda da çemberdeki dizilim saat yönünde $0,x,x, \dots, 0,x,x$ şeklinde olur. O halde çemberde $n = 3m$ sayı vardır.
$2\cdot x\cdot m = 278 \Rightarrow x \cdot m = 139$ eşitliğinden $m \in\{1,139\}$ çıkar.