Cevap: $\boxed{A}$
Öncelikle $n=k$ olabiliyorsa $k+2$ de olabileceğini görelim çünkü $n=k$ durumuna ek olarak $2$ soru ve sadece $1$ öğrenci ekler ve bu iki soruyu sadece o öğrenciye çözdürerek $n=k+2$ için örnek durum bulabiliriz. $n=2$ için tek öğrenci yeterlidir, bu öğrencinin iki soruyu da çözdüğü durum istenilen şartları sağlar. Dolayısıyla, $n$ çift herhangi bir sayı olabilir. Tek sayılar için iddiamız ise $n\geq 7$ olan herhangi bir tek sayı olabileceğidir. Bunun için $n=7$ için göstermemiz yeterlidir. Soruları $1,2,\dots,7$ olarak numaralandırıp öğrencilere $A$, $B$ ve $C$ dersek $$A\to 1,2,3,4$$ $$B\to 1,2,5,6$$ $$C\to 1,3,5,7$$ sorularını çözmesi halinde her soru çözülmüş, herkes çift sayıda soru çözmüş ve herhangi iki kişinin ortak çözdüğü soru sayısı $2$ olmuş olur. Yani $n$, $7$ veya daha büyük herhangi bir tek sayı olabilir.
Geriye sadece $n=1,3,5$ için istenilenin sağlanamayacağını göstermek kalır. $n=1$ çok basittir.
$n=3$ için soru çözmemiş öğrencinin hiçbir katkısı olmayacağından onları yokmuş gibi sayabiliriz. Herkes çift sayıda soru çözeceğinden hepsi tam olarak $2$ tane soru çözmelidir. İki kişinin ortak çözdüğü soru sayısı ya $2$ ya da $0$ olmalıdır. Eğer $2$ ise bu iki kişinin çözdüğü sorular tamamen aynıdır. Bu yüzden üç veya daha fazla kişinin ortak çözdüğü soru sayısı $1$ olamaz çünkü ortak soru çözmüş kişiler tamamen aynı soruları çözmüş olmalıdır. Dolayısıyla içerme dışarma prensibi gereğince $$\text{(Öğrencilerin çözdüğü soru sayılarının toplamı )}-\text{(Herhangi iki öğrencinin çözdüğü ortak soru sayılarının toplamı )}$$ $$+\text{(Herhangi üç öğrencinin çözdüğü ortak soru sayılarının toplamı )}-\cdots=3$$ doğru olamaz çünkü sağ taraf tek sayıyken sol taraftaki tüm toplamlar çifttir. Bu bir çelişkidir. $n=3$ olamaz.
$n=5$ için her öğrenci çift sayıda soru çözeceğinden $2$ veya $4$ soru çözmüş olmalıdır. Eğer tam olarak $2$ soru çözmüş biri varsa bu kişi diğer herhangi biriyle ya hiç ortak soru çözmemiştir ya da iki sorusu da ortaktır. Bu kişiyi ve çözdüğü soruları atarsak geriye kalan öğrenciler ve sorular da $n=3$ durumunu sağlar çünkü herkesten çift sayıda soru eksilir ve ortak çözülen soru sayısı da her öğrenci ikilisi için $2$ veya $0$ azalır. Bu yüzden herkes tam olarak $4$ soru çözmelidir. Başka bir deyişle herkes tam olarak bir soruyu çözmemiştir. herhangi bir $A$ kişisini alalım, genelliği bozmadan bu kişi ilk soruyu çözmesin. İlk soruyu çözen herhangi bir $B$ kişisi alırsak bu kişi $A$'nın çözdüğü sorulardan tam olarak bir tanesini çözmemiş olmalıdır. Yani $A$ ve $B$'nin ortak çözdüğü soru sayısı $3$ olacaktır. Bu bir çelişkidir. $n=5$ olamaz.
$n$'nin alamayacağı $3$ değer vardır, bunlar $n=1,3,5$'dir.
