Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 26

[geo]

$2005^{2003^{2004}+3}$ sayısı $3$ tabanına göre yazıldığında son iki basamak ne olur?

$
\textbf{a)}\ 21
\qquad\textbf{b)}\ 01
\qquad\textbf{c)}\ 11
\qquad\textbf{d)}\ 02
\qquad\textbf{e)}\ 22
$

[ArtOfMathSolving]

Yanıt:$\boxed{A}$

Aslında bize $2005^{2003^{2004}+3}\equiv ?\pmod{100}$ sorusu soruluyor. Çözelim.

$\phi(100)=40$ olduğundan $2003^{2004}+3$ ü $\pmod{40}$ ta incelersek, $\phi{(40)}=16$ olduğundan ,

$2003^{2004}+3 \equiv 3^4+3 \equiv 84 \equiv 4 \pmod{40}$ bulunur.O halde

$2005^4 \equiv 5^4 \equiv 25 \pmod{100}$ olur. $25$ i $3$ tabanında yazarsak, $25=(221)_{3}$ elde edilir ve son $2$ basamağı $21$ olur.

[Arman]

Aslında bize sorulan soru $2005^{2003^{2004}+3}\equiv ? \pmod{9}$ çünkü $3$'lük taban da her basamak $3$'ün kuvvetlerini belirtir. Son iki basamakta sayının $9$ ile bölümünden kalandır.

$2005^{2003^{2004}+3}\equiv2^{2003^{2004}+3}\pmod{9}$

$\phi(9)=6 \Longrightarrow 2003^{2004}+3\equiv(-1)^{2004}+3\equiv4\pmod{6}$

$2^4\equiv7\pmod{9}$ $\Longrightarrow$ $7$'nin de $3$'lük tabanda yazılışı $(21)_3$ 'dir.