Tübitak Lise Takım Seçme 2000 Soru 1

[Lokman Gökçe]

• Her $n$ pozitif sayısı için, $x^{2}-xy+y^{2}=n$ denklemini sağlayan $(x,y)$ sıralı tamsayı ikililerinin sayısının $3$ ile bölünebileceğini gösteriniz.
• $x^{2}-xy+y^{2}=727$ denklemini sağlayan tüm sıralı tamsayı ikililerini bulunuz.

[geo]

• $y$ yi sabit tuttuğumuzda,
  $f(a,y) = f(b,y)$ ise $a^2-ay+y^2 = b^2 - by + y^2 \Rightarrow (a-b)(a+b-y)=0$ olacağı için $b=y-a$ elde edilir. Bu durumda $(a,y)$ bir çözüm ise $(y-a,y)$ de bir çözümdür.
  Benzer şekilde $x$ i sabit tuttuğumuzda, $f(x,a)=f(x,b)$ ise  $x^2 - ax + a^2 = x^2 - bx+b^2 =0 \Rightarrow (a-b)(a+b-x) $ ve $b=x-a$ elde edilecek. Bu durumda $f(x, a)$ bir çözüm ise $f(x, x-a)$ da bir çözüm olacak.
  Bunun haricinde simetriden dolayı $f(x,y)=f(y,x)$ ve kare ifadelerden dolayı $f(x,y)=f(-x,-y)$ olduğu görülüyor.
  Tüm çözümleri birleştirirsek:
  Sabit tutma sonucu $3$ tane: $(x,y)$, $(y-x, y)$, $(x, x-y)$
  Yer değiştirme sonucu $3$ tane: $(y,x)$, $(x-y, x)$, $(y, y-x)$
  Bunların eksileri sonucu $6$ tane çözüm geleceği için, $(x,y)$ çözümse, bunun haricinde $11$ çözüm daha vardır.
  $(x,x)$ olma durumunda çözümler $(x,x)$, $(-x,-x)$, $(0,x)$, $(x,0)$, $(0,-x)$, $(-x,0)$ olacak. Çözüm sayısı yine $3$ ile bölünüyor.
  $(0,0)$ çözüm ise çözüm sayısı $1$ olacak. Ama $(0,0)$ çözümse, $n=0$ olması gerekeceği ve soruda $n$ pozitif tam sayı dediği için $(0,0)$ çözüm olamaz.
  
  
• $727$ tam kare olmadığı için $x^2 - xy + y^2 = 727$ denklemin $(a,a)$ şeklinde bir çözümü yoktur.
  $(a,b)$ $(-,-)$ şeklinde bir çözüm ise, bunların eksilileri de çözüm olacağı için $(-a,-b)$ şeklinde bir çözüm vardır. Birincisi ikincisinden küçük ise yer değiştirdiğimizde $(-b,-a)$ şeklinde bir çözüm bulabilir.
  $a>0$ ve $b<0$ ise $(a,b)$ çözümken, $(a, a-b)$ çözümü $(+,+)$ şeklinde bir çözüm. $(a-b,a)$ çözümü de istediğimiz şekilde ilk parametrenin ikincisinden büyük olduğu bir çözümdür. İlki negatif ikincisi pozitif ise, ters çeviririz, yine aynı şekilde bir çözüm elde ederiz.
  Bu durumda çözüm varsa, çözümlerinden biri $a>b>0$ olmak üzere $(a,b)$ şeklinde olmalı.
  
  $a^2 - ab + b^2 = a^2 + b(b-a)=727 < a^2 \Rightarrow 27 \leq a$
  Diğer taraftan $b = \dfrac {a \pm \sqrt {a^2 - 4(a^2 - 727)}}2 = \dfrac {a \pm \sqrt {4\cdot 727 - 3a^2}}2$ olduğu için $4\cdot 727 > 3a^2 \Rightarrow 31\geq a$ olacaktır.
  Bu durumda $27\leq a \leq 31$ elde edilir. Bu $5$ değer $2908 - 3a^2 = T^2$ denkleminde teker teker denenirse sadece $a=31$ in sağladığı görülür.
  $a=31$ olduğunda, $31^2 - 31b + b^2 = 727 \Rightarrow b^2 - 31b + 234 = (b+18)(b-13)=0$ elde edilecek. Yani $(31,13)$ bir çözüm.
  Bu durumda tüm çözümler $(31,13)$, $(13,31)$, $(-18,13)$, $(18,31)$, $(31,18)$, $(13,-18)$,$(-31,-13)$, $(-13,-31)$, $(18,-13)$, $(-18,-31)$, $(-31,-18)$, $(-13,18)$ olacaktır.